奥数论破 主角秘密武器：存档读档大法。全文最难的题目是【2/3 游戏】，这个问题的解析（纳什均衡）见下文。最有趣的数学题是【红眼睛和蓝眼睛】。 共同路线 这个游戏不仅要做数学题，玩狼人杀，还要刷好感。建议存档读档。 【剧情】 选择：出去。和我一样。沉默。去帮她们。 【游戏：硬币游戏】（保证桌面的硬币是6的倍数。） 选择：15枚的那堆。3枚。3枚。 【剧情】 选择：想吃。 【游戏：狼和羊】（狼人杀没有必胜策略，只能盲猜了，启动存档读档大法。） 选择：红先生。扯淡。紫小姐。我不同意。白小姐。其他人。明朗了。橙小姐。第三轮。她的投票选择。 《剧情》 选择：玩。做得到。4张和7张。将4张那堆翻过来。蛋。坐下来一起看电视。 《游戏：猜箱子游戏》 选择：不可以。可能是五个。紫小姐。不按。按。拿6号。 《游戏：拍卖游戏》 选择：筹码的数量。……我同意。不参加。帮助橙小姐。不参加。7000。 橙白共同路线 《剧情分支》 选择：好啊。答应橙小姐。会。 《游戏：心灵相通》（逻辑性很强，本质是二进制记数。） 选择：2号玩家。通过扑克牌的顺序。后两次。1张。6种。不是3张。作为一个基数。梅花3。紫小姐。1张。方片8。红桃3。反面的梅花10。男主角说：“获胜数最大会是57。”（这里怀疑答案有误。）已知三个人总和230，如果白小姐是100，那么x=2/13×330≈51。 男主角说：“立于不败的数字是42。”显然，上述的范围估计是极端情形，没有人会这样自爆。如果白小姐和男主角同样聪明，他们会选择同样的数字x，那么2/3·(2x+230)/5=x，x≈42。这两人中，任何一个人不选择42都是自爆行为，因为平均数的变化范围一定比单独一个人的变化范围小。如果一个人偏离了42，那么获胜值的偏离量一定更小。如果一个人偏离了y，那么获胜值只偏离2y/15。所以选择42是必胜行为，不选42是自杀行为。 这同样是一个【纳什均衡】。已知其他三个人的总和是230的情况下，男主角和白小姐必选42，任何一个人不选择42都是自爆行为。 如果选择去找白小姐。白小姐告知：“L先生30，绿小姐0，紫小姐0，白小姐20。”那么，男主角应该2/13·(30+0+0+20)≈8。但是，白小姐显然是诱导男主角，实际绿小姐是100。如果男主角选择8，白小姐选择2/13·(30+100+0+8)≈21，这才是白小姐的意图。男主角应该选择2/13·(30+100+0+21)≈23。没有计算难度，没有纳什均衡，仅仅是套路和反套路，即“我预判了你的预判”。 心意相通（猜牌游戏） N进制问题和排列组合问题。只有2号玩家的步骤需要详细解释。 哪位玩家才是猜中正确牌的关键所在？2号因为1号随机抽取了5张牌，所以游戏从2号开始。 4轮猜牌之中，哪两次猜牌的难度最大？后两次。越往后，牌的数量越少，能表达的信息越少，自然越难。 2号玩家的操作：五张牌中必定有两张花色相同。2号玩家留下其中一张，将另一张放在顶端，剩余3张牌可以表示6种数字，显然无法表达13种可能。 把10作为一个基数。 为什么【把10作为一个基数】？实际上，这张牌的数字可能是任意的。所以，这需要2号玩家进行选择。假如2号玩家看到花色相同的两张牌是2和3，该怎么办？ 这是一个13进制的问题。将13个数字排列成圆形，圆形上两个数字x和y（x<y）的最短距离为d(x,y)=min{y-x,13-(y-x)}。例如，2和3的距离是d(2,3)=1；2和11的距离是d(2,11)=4，因为在圆形上“11，12，13，1，2”的距离为4，而非11-2=9。 当13个数字排成圆形（即循环排列）时，任意两点最短距离的最大值d_max=6，这就是剩余3张牌表示6个数字恰好够用的原因。 若2号玩家看到花色相同的两张牌是x和y（x<y），则剩余3张牌只需表示出d(x,y)。若d(x,y)=y-x，那么留下y；若d(x,y)=13+x-y，那么留下x。然后3号玩家只需要把第一张牌的点数加上d再取13进制的个位即可。 例如2号玩家看到了x=2，y=3，d=1，那么留下y=3，然后3号玩家可以算出2+1=3；例如2号玩家看到了x=1，y=12，d=2，那么留下x=1，然后3号玩家可以算出12+2=14，14-13=1。 3号玩家的操作同理。 红眼睛与蓝眼睛 此问题最早据说是澳大利亚的华裔数学神童陶哲轩在网上贴出来让大家思考，逗大家玩儿的。 注：题源背景为蓝眼睛（100）、棕眼睛（900）。 题目是这样的。有一个岛上住着100个人，其中5人是红眼睛，95人是蓝眼睛。这个岛有三条奇特的宗教规则： 1. 他们不能照镜子，也不能看自己眼睛的颜色。 2. 他们不能告诉他人对方眼睛的颜色。 3. 一旦有人知道了自己眼睛的颜色，就必须在当天夜里自杀。（说明：题中设定有5个红眼睛，但岛民并不知道具体数量。） 某天，一位旅行者来到岛上。他不了解这里的规矩，在与全岛人狂欢时，无意间说了一句：【你们这里有红眼睛的人。】最后的问题是：假设这个岛上的人足够聪明，每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么？ 此问题的第一个答案是用数学归纳法得出的：如果这个岛上有N个红眼睛，那么在旅行者说这句话的第N天，他们全部都会自杀。具体到本题则是，在第5天，这个岛上的5个红眼睛会全部自杀。（尊重原题，补：其他蓝眼睛在红眼睛集体自杀后，知道自己的眼睛颜色，也跟着自杀）。 证明过程如下： 如果这个岛上只有1个红眼睛，其他人都是蓝眼睛。那么，当旅行者说了这句话之后，此人立刻就会知道自己是红眼睛，他就会在当天自杀。即，当n取第一个值n0=1时，命题成立。假设当这个岛上有N个红眼睛的人时，在旅行者说了这句话之后的第N天，这些红眼睛的人会全部自杀。 那么，当这个岛上有N+1个红眼睛的人时，在每个红眼睛的人看来，岛上都确定有N个红眼睛的人，并等待着他们在第N天自杀。而在第N天，大家都没有自杀。所以一到第N+1天，每个红眼睛的人都明白了这个岛上还有第N+1个红眼睛的人——他自己。于是大家都在第N+1天自杀了。 所以命题得证：如果这个岛上有N个红眼睛的人，那么在旅行者说这句话的第N天，他们全部都会自杀。 如果上述证明还让人有疑惑的话，也可以改用穷举法来证明。 当岛上只有一个红眼睛的人时，在旅行者说完这句话的当天，他就会自杀。这个无疑。 当岛上有两个红眼睛的人时，在旅行者说完这句话的当天，这两个红眼睛的人都会等着对方自杀，但对方却没有自杀。于是在第二天他们立刻明白自己也是红眼睛，便在第二天一起自杀了。 以此类推，当岛上有三个红眼睛的人时，旅行者说完这句话后，每个红眼睛的人都会等着第二天另外两个红眼睛的人集体自杀，但他们没有自杀。所以到了第三天，大家都明白自己也是红眼睛，就一起自杀了。 如此推理下去，就得出了命题：如果岛上有N个红眼睛的人，那么在旅行者说完这句话后的第N天，这N个红眼睛的人会一起自杀。具体到本题就是，到了第五天，这五个红眼睛的人一起自杀。以上证明看起来非常美妙。 可是问题又来了。 陶哲轩说，这个旅行者事实上讲了一句废话，没有带来任何新的信息。因为这岛上有95个蓝眼睛，5个红眼睛。每个人都知道这岛上有红眼睛的人。无非是蓝眼睛的人看到有5个红眼睛，红眼睛的人看到有4个红眼睛而已。旅行者说的那句【岛上有红眼睛的人】，没有输入任何新的信息，他说的就是岛上的人每天都看到的景象。所以哪怕岛上的人思维再缜密严谨，也不会有任何自杀的情况发生。 是这样吗？ --------- 解疑： 【游客没有输入任何新的信息】这个断言是错的。 N=1的情形不必说了，显然输入了新信息。正的黑桃6和反的方片7。 《游戏：找出毒酒》 选择：并不可以。二进制。21（21=2^4+2^2+2^0→10101）。59（59=2^5+2^4+2^3+2^1+2^0→111011）。 橙路线 《剧情分支》 选择：找橙小姐搭话。算了吧。 《游戏：躲避炸弹》（数学性不强，主要是猜测对方心理。） 选择：帮帮紫小姐。5号。5号。我不相信。这是诡辩。4号。白小姐不是那样的人。……不会吧。5号。 《剧情》 选择：我倒是有个办法。wolf。 《游戏：斗地主》（所有心理战当中最简单的。利用地主的贪念，农民故意选择一样的牌，得到一手0。） 选择：揣度对手的心理。不值得。一种。K。炸弹+其他。其他的方法。2222。AAAA。KKK。有可能。对于N>1的情形，要注意，游客必须当着所有人的面公开做出宣告，如果他是私下分别对每个人说的，就不会起任何作用。【公开宣告】这一举动的意义不是让每个人都知道【岛上有红眼睛】，而是让每个人都知道【每个人都知道每个人都知道……每个人都知道岛上有红眼睛】。在游客公开宣告之前，岛上的人是不可能具有这个多阶知识的，这就是游客输入的新信息。 以N=2为例，公开宣告之后，红1立刻获得了一个新的2阶知识：【红2知道岛上有红眼睛】，在公开宣告之前，他没有能力判断这个2阶命题的真假，因为在这之前命题的真假依赖于红1自己的眼睛颜色。同样，红2也获得了新知识【红1知道岛上有红眼睛】。 当N=3时，公开宣告使红1立刻获得了一个新的3阶知识：【红2知道红3知道岛上有红眼睛】，在此之前，这个3阶命题的真假同样取决于红1自己的眼睛颜色（若为红色则为真，蓝色则为假）。同样，红2和红3也获得了类似的知识。 当N=4、5、6……时，情况以此类推。 简单来说，【岛上有红眼睛】这件事原本只是一项【共有知识】（Mutual knowledge），而公开宣告使其变成了一项【公共知识】（Common knowledge）。这两种知识的区分在认知逻辑中极为重要，并在博弈论中有着广泛的应用。用通俗的话简单介绍一下这两个概念：对于一个给定的命题P和一群特定的人，共有知识只需满足一个条件：这群人中的所有人都知道P，那么P就是这群人的共有知识。 公共知识则需要满足以下所有条件： 这群人中 1、所有人都知道P； 2、所有人都知道所有人都知道P； 3、所有人都知道所有人都知道所有人都知道P； 4、所有人都知道所有人都知道所有人都知道所有人都知道P； 5、…… 以此类推，直至无穷。必须同时满足这无穷多个条件，才能称P是这群人的公共知识。 -------- 看到有些人还是不明白，为什么在公开宣告之前没有人自杀，宣告之后就有人自杀了，以及为什么要等到第N天才自杀。以下就用 N=4 为例来分析一下，希望能有助于理解（但也有可能让人绕得更晕）。 设 4 个红眼岛民分别为 A、B、C、D，以下是 A 心中做出的推理： 我看到 3 个红眼，这可以划分成一共 5 种情况： 1、我是红的； 2、我是蓝的，且 B 自认为是红的； 3、我是蓝的，且 B 自认为是蓝的，且 B 认为 C 自认为是红的； 4、我是蓝的，且 B 自认为是蓝的，且 B 认为 C 自认为是蓝的，且 B 认为 C 认为 D 自认为是红的； 5、我是蓝的，且 B 自认为是蓝的，且 B 认为 C 自认为是蓝的，且 B 认为 C 认为 D 自认为是蓝的。 假如没有游客来公开宣告「岛上有红眼」，那么 A 永远无法判断上述哪一种是真的。由于岛上所有人都做出同样的推理（蓝眼岛民推出的情形多一种），所以每个人都无法判断自己眼睛的颜色，大家都不用去死。 而一旦公开宣告【岛上有红眼】，A立刻知道【B知道C知道D知道岛上有红眼】，因此可以立刻排除5；当晚没人死，因此第二天可排除4；第三天排除3；第四天排除2只剩下1，因此A在第四天晚上自杀。B、C、D也都做出完全一样的推理，所以也都在第四天晚上自杀。 ====补充==== 有人提到，这道题的一个必要前提是岛上的人要完全信任这个游客。这很对，但还不够。不仅每个人都要相信该游客，而且还必须每个人都知道每个人都知道……每个人都知道每个人都相信该游客。即【游客完全可信】这件事本身也必须是一个公共知识。只有这样，游客的宣告才会具备使共有知识转变为公共知识的力量。 补充2 从小到大，我们一次又一次地被旁人这样教训：【嘘，别说了，小心点。况且这种事谁不知道啊，还要你说？说出来又有什么用呢？你有力量改变它吗？】久而久之，我们越来越习惯于把【你懂的……】挂在嘴边，习惯于对房间里的大象视而不见，选择性遗忘了一个我们其实早就知道的重要事实：【大声说出来】跟【彼此心照不宣】有着决定性的区别。我们不是没有力量。一条恰当的宣言，哪怕它的内容只不过是「我知道」这么简简单单的一句话，也有可能引起整个社会的信念结构的根本改变，让许许多多人断然行动起来。这就是我们每一个人的力量。不可行。和队友的配合。2222。AAAA。KKKKQ。 《猜色游戏》 选择：还是算了。根据其他人的反应。不可以。转过身去。能。红。不可以。还不行。可以。白。5个？游客说的不是废话。你是绿色。拒绝。 白路线 《剧情分支》 选择：找白小姐搭话。 《躲避炸弹》（数学性不强，主要是猜测对方心理。） 选择：帮帮紫小姐。5号。5号。我不相信。这是诡辩。4号。白小姐不是那样的人。……不会吧。5号。 《剧情》 选择：我倒是有个办法。wolf。很可爱。思维。先有男人。 《斗地主》（所有心理战当中最简单的。利用地主的贪念，农民故意选择一样的牌，得到一手0。 选择：揣度对手的心理。不值得。一种。K。炸弹+其他。其他的方法。2222。AAAA。KKK。有可能。不可行。和队友的配合。2222。AAAA。KKKKQ。 《猜色游戏》 选择：还是算了。根据其他人的反应。不可以。转过身去。能。红。不可以。还不行。可以。白。5个？游客说的不是废话。拒绝。 《剧情》（弄不清楚这个公主的故事有啥逻辑性，大概就是顺着白小姐的意思吧。） 还是先考虑赢下游戏。还是有一些怀疑。她会成功。留下来继承王位。答应。我会。沉默。 紫路线 在共同路线之后。《剧情分支》 选择：我不听我不听我不听。会。 《游戏：谋杀游戏》 选择：凶手是女人。凶手移动了尸体。不能。不可行。提醒其余人凶案发生。提醒有凶案发生。为了掩盖某种东西。只是干扰调查的假线索。坏掉的电灯。第二起。凶手的身份特殊。化妆品。 《剧情》 选择：或许吧。要对自己有信心。应战。2张。6 10。算了。 《游戏：枪弹游戏》（心理战，知道蓝先生是坏蛋就行了。尽量防御自己，不要主动伤害别人。） ……同意。自己。蓝先生。自己。不同意。自己。询问白小姐。我会还这个人情。紫小姐。 《剧情》 选择：紫小姐。鼓励紫小姐。再跟紫小姐说说话。《2/3 游戏》 选择：我要看。66.7。了解他人的想法。 《游戏分支》（选去找白小姐，数学题简单一些。） 去找紫小姐。偏大。0。100。35。57。42。反面。紫小姐。紫小姐很善良。 （如果去找白小姐）选择：去找白小姐。没有。和白小姐争执。白小姐找我合作，结果……偏大。0。008。怀疑白小姐。100。021。023。 《囚徒游戏》 选择：沉默。 2/3 游戏攻略 纳什均衡（Nash Equilibrium）定义：没有玩家可以通过改变策略（其他参与者保持不变）而获益，这样的结果叫做纳什均衡。例如：在囚徒困境里，两个人互不信任，任何一个人单方面信任别人都是自杀行为，所以互相背叛就是【纳什均衡】关于2/3游戏，《纽约时报》有这样一篇文章：谜题：你比其他61139名《纽约时报》读者更聪明吗？请自己随便选一个数字，看看自己能否在全球玩家中胜出。目前，参与测试的全球玩家得出的获胜值是19。 选择和紫小姐合作，问题会困难一些。提示：如果别人的总和是a，那么自己想要等于平均数的2/3，则x=2/3·(x+a)/5，x=2a/13。 男主角说：“20偏大。如果大家都足够聪明，输入的应该都是同一个数字0。” 这是“纳什均衡”的答案，参考《纽约时报》的测试结果。大家不知道别人的选择。假定每个人都是等价的。假定每个人都选了x附近（比如大家选了50附近，例如48，49，50，51，52），那么平均数的三分之二小于x，那么这些人里最小的那个人将会获胜。因为三分之二规则，当大家的数字差不多大的时候，总是最小的那个获胜。这样大家都会自私地选择更小的数字。所以，男主角说：“如果大家都足够聪明，输入的应该都是同一个数字0。” 根据纳什均衡的定义，所有人都选择0才是个人最优解，任何一个人单方面选择大于0的数字都是自爆。 男主角说：“但是我们不能选0。” 大家都选0的假设是“假定每个人都是等同的。”实际上，可能有两个人串通起来，让一个人刻意干扰平均值。男主角说：“两个人的结盟中，除了一个人输入100拉高平均数之外，还有什么更有效的方案吗……” 由于【2/3规则】，输入的数字总是会被拉低，所以输入100是自爆行为。如果每个人都不结盟，那么没有人会选择100，大家都会自私地选择更小的数。既然结盟，那么一个人自爆故意拉高平均值，让队友获胜，这是有效的方案。 男主角说：“绿小姐应该会输入100。”剧情中，绿小姐是无脑工具人。在狼人游戏里，被橙小姐利用。在这个游戏里，又被白小姐利用。绿小姐扮演了自爆的角色。 男主角说：“获胜数最小会是35。”已知三个人总和230，如果白小姐是0，那么x=2/13×230≈35。