科普 每个形状都隐藏着一个正方形，我们却无法证明 | Quantia

我在这个视频里讲了一个听起来很简单、但困扰了数学家一百多年的几何问题：内接正方形问题。想象你随手画一个圈，任何形状都行，比如一片叶子的轮廓、一个湖的边界，或者闭着眼睛画的环。问题来了：在这个环上，是否存在四个点，恰好构成一个完美的正方形？1911年，数学家奥托·托普利茨提出了这个猜想，但直到今天，我们仍然无法对所有可能的曲线给出最终证明。 我具体解释了什么是“乔丹曲线”（就是不自交的闭合环），以及“内接正方形”的确切含义（四个顶点在曲线上即可，正方形本身可以伸出环外）。然后我梳理了数学家们一个多世纪以来的探索历程。比如，1913年，阿诺德·埃姆奇证明了所有凸曲线（像鸡蛋那样向外鼓的曲线）都存在内接正方形，他用了一个巧妙的方法：通过滑动水平弦和垂直弦，找到中点重合的一对垂直弦，再旋转整个构造，最终得到一个正方形。 但问题是要证明“所有”曲线。1977年，赫伯特·沃恩取得了重大突破。他转而研究一个稍简单的问题：每个乔丹曲线是否都内接一个矩形？他证明了答案是肯定的。他的方法非常优美：考虑曲线上所有无序点对构成的空间，这其实是一个莫比乌斯带。 title: Every Shape Hides a Square No Matter What. We Can't Prove It. url: https://www.youtube.com/watch?uploader: Quantia publish_timestamp: 2026-04-14 00:44:09 UTC+8 duration: 11:52 原视频描述(中文翻译): 在纸上画任意闭合曲线——光滑的、锯齿状的、分形的、海岸线或树叶轮廓。Otto Toeplitz 在 1911 年猜想，每条曲线上总有四个点能形成一个完美的正方形：边长相等，角度为直角。 这看似显而易见，实则不然。115 年过去了，这个问题仍未解决。 本视频将探讨初等几何中最奇特的未解问题： - Arnold Emch 在 1913 年对凸曲线的优美证明——纯中点和连续性。 - 从“存在矩形”到“存在正方形”的跨越为何如此困难，以至于现有工具无法应对。 - 莫比乌斯带论证如何证明每条光滑曲线内接一个矩形，以及非定向曲面如何控制平面上的四点构型。 - Schnirelmann（1929）、Stromquist（1989）、Meyerson 的稠密集结果（1981）、Tao 的积分方法（2016）。 - Joshua Greene 和 Andrew Lobb 在 2020 年 5 月的突破——隔离数学、辛几何、嵌入拉格朗日 ℝ⁴ 的克莱因瓶，以及 Shevchishin 关于非定向拉格朗日量的定理。 - 现在已知任何光滑 Jordan 曲线都能内接所有矩形长宽比。 - 而原始问题——允许最狂野的分形——仍然完全开放。 关键不在于猜想本身，而在于一个世纪以来，世界顶尖数学家仍无法证明这看似最简单的一点：正方形。 章节： 00:00 — 开场 00:10 — 介绍 00:58 — 什么是 Jordan 曲线 01:48 — Toeplitz 的断言 02:39 — 凸曲线情况（Emch，1913） 03:42 — 莫比乌斯带证明（矩形） 05:43 — 正方形为何如此困难 06:27 — 一个世纪的局部结果 07:22 — Tao 的积分方法（2016） 08:21 — Greene–Lobb，2020 年 5 月 10:12 — Koch 雪花和仍开放的领域 11:07 — 你的曲线隐藏了什么？ 参考： - Otto Toeplitz, Jahresbericht DMV 20 (1911) — 原始猜想 - Arnold Emch (1913, 1915, 1916) — 凸曲线和光滑曲线情况 - Lev Schnirelmann (1929, 修正于 1944) — C² 曲线 - Walter Stromquist (1989) — 局部单调曲线 - Mark Meyerson (1981) — 任何 Jordan 曲线上几乎所有点都位于某个内接正方形上 - Terence Tao (2017), "An integration approach to the Toeplitz square peg problem" - Joshua Greene & Andrew Lobb (2020), "The rectangular peg problem" — Annals of Mathematics - Vaughan 的莫比乌斯带论证（1977，未发表；后来普及） 音乐、动画、旁白均为原创。动画使用 Manim Community Edition 渲染。