《时间点击者》的理论极限

本文将介绍《时间点击者》的各项数值上限以及不同属性能够达到的高度。 最高波数 正如成就所显示的，达到第4000波是完全可能的，而且你还能挑战更高的波数！不过，要了解具体能达到多高的波数，就必须考虑浮点数的相关知识。 敌人生命值以浮点数形式呈现。这意味着它的形式为：(-1)^符号位 × 2^(指数位 - 偏移量) × (1 + 尾数位)，本质上就是二进制的科学计数法！ 符号位的作用和你预期的一样，要么表示数字为正数（符号位为0），要么表示为负数（符号位为1），不过目前我们不需要考虑负数情况。指数位的作用主要是相对于1 + 尾数位来移动小数点，而偏移量则是起始点。尾数是数字的小数部分，用于表示数值之间的精确值。 在《时间点击者》中，游戏没有使用32位浮点数（包含1个符号位、8个指数位和24个（其中23个显式存储）尾数位），而是采用了64位双精度浮点数（包含1个符号位、11个指数位和53个（其中52个显式存储）尾数位）。 除指数外，其他细节并不太重要。指数增加时，数值会每次翻倍，但当指数从第二大值增加到最大值时，数值会直接跳变为无穷大。由于有11个指数位，当指数从2046跳变到2047时，数值就会变为无穷大。 那么，当生命值突然跳变为无穷大时会发生什么呢？与其相关的所有方块的生命值也会变为无限，这意味着它们根本无法被击败。即使造成的伤害也是无限的，由于IEEE-754标准，它们的生命值会变成NaN，所以这并不能解决问题。 现在的问题是找出这种无限跳跃何时发生。要做到这一点，需要探究生命值的计算方式。 基础生命值的计算步骤如下： 1. 首先，判断波数是否为5的倍数（即Boss波）。 2. 接着，将波数与130和500进行比较，确定波数是小于两者、介于两者之间还是大于两者。 3. 然后，计算1.6的（波数减1与130中的较小值）次方，并将结果乘以10。 4. 如果是Boss波，再将结果乘以10。用波数减1，再乘以10，然后加上这个结果。 如果波数大于130，将该数值乘以1.25的（波数减130与500中的较小值）次方。 如果波数大于500，将该数值乘以1.125的（波数减500）次方。 基本上，这里的情况是初期呈巨大的指数增长，每波生命值获得1.6倍的乘数。然而，在第130波时，增长放缓至1.25倍乘数，到第500波时再次放缓，此时乘数为1.125倍。如果每波都是1.6倍乘数，游戏甚至无法达到第2000波。实际上，随着时间的推移，游戏会变得稍微简单一些，这也是第4000波能够通过的原因。有了这个认知，我们现在可以尝试看看波数究竟能达到多高。 经过在Desmos上的反复尝试，我在图形计算器上实现了生命值计算功能，并开始测试各种数值，观察玩家能达到的最高波数。理论上仍可击败的最高Boss波数是5270波，其生命值为153(r³)，即1.53×10³⁰⁸。不考虑Boss波的情况下，可击败的最高普通波数是5289波，生命值为143(r³)，即1.43×10³⁰⁸。考虑到这些因素，玩家能达到的最高波数是5275波，从这一波开始，你将永远卡在那里，无法达到更高的波数。作为对比，第4000波的生命值是1.38(x²)，也就是1.38×10^243，这个数字比这里显示的数字小得多，小了65个数量级。 最高武器等级可达值 正如成就所示，所有团队成员的武器等级达到5000级是完全可能的。但你也能发现，等级还能继续提升。那么能提升到多高呢？同样，我们得看武器升级成本何时突然跃升至无穷大。 每种武器的升级成本取决于其等级和武器本身，具体如下： 对于非升级武器： 首先，按武器顺序列出编号，脉冲手枪为0，高射炮为1，霰弹步枪为2，以此类推。 接下来，用武器当前等级除以100取整数，再乘以5，最后加上武器基准值。请注意武器上次升级后的等级数，即达到100的倍数后（包括升级前一刻）的等级数量。 取第二步得到的数值，若该数值为0，成本乘数为45；若为1，成本乘数为90；否则，成本乘数为9.5的0.77次方乘以武器数值与2的差值，再乘以720。 最后，将成本乘数乘以1.08的升级后等级数次方。对于升级，需按照上述步骤操作，但在第二步中将武器数值提高2（因此武器数值为0和1的特殊情况不适用），并在第三步中将升级后的等级数减少10。 与波次数值不同，成本不会随着等级的提升而减速增长。不过，由于武器等级增长速度大幅放缓，所有武器都能达到5000级。这一发现让我们终于能够计算出可购买的最高武器等级。 经过在Desmos上的反复试验，我得出了各武器可购买的最高常规等级和升级等级。 常规等级： 脉冲手枪：8159级（168(x³)G或1.68×10³⁰⁸G） 高射炮：8137级（175(x³)G或1.75×10³⁰⁸G） 散弹步枪：8114级（169(x³)G或1.69×10³⁰⁸G） 火箭发射器：8099级（114(x³)G或1.14×10³⁰⁸G） 粒子球：8082级（174(x³)G或1.74×10³⁰⁸G） 升级等级： 脉冲手枪：8110级（57.6(x³)G或5.76×10³⁰⁷G） 高射炮：8100级（57.1(x³)G或5.71×10³⁰⁷G） 散弹步枪：8085级（102(x³)G或1.火箭发射器：8050级（39.0(x^3) G或3.90×10^307 G） 粒子球：8025级（32.2(x^3) G或3.22×10^307 G） 因此，各武器的最高可达等级如下（及其对应等级的基础每秒伤害）： 脉冲手枪：8125级（1.89(e^3)或1.89×10^267） 高射炮：8110级（2.43(e^3)或2.43×10^267） 散弹步枪：8100级（94.8(d^3)或9.48×10^265） 火箭发射器：8075级（97.1(d^3)或9.71×10^265） 粒子球：8050级（136(d^3)或1.36×10^266） 这也意味着所有武器都能达到特种行动8级，但无法再进一步升级。值得注意的是，第4000波的生命值为1.38(x^2)或1.38×10^243，这已接近武器升级能力的极限。要达到最高波数，你需要【维度转换】和/或【时间立方体】来进一步提升每秒伤害。